როგორ მოვძებნოთ ოთხკუთხა პირამიდის მთლიანი ზედაპირი. პირამიდის ფართობი

არის მრავალწახნაგოვანი ფიგურა, რომლის ფუძე მრავალკუთხედია, ხოლო დარჩენილი სახეები წარმოდგენილია სამკუთხედებით საერთო წვერით.

თუ ფუძე არის კვადრატი, მაშინ პირამიდა ეწოდება ოთხკუთხა, თუ სამკუთხედი – მაშინ სამკუთხა. პირამიდის სიმაღლე დახატულია მისი ზემოდან ფუძის პერპენდიკულარულად. ასევე გამოიყენება ფართობის გამოსათვლელად აპოთემა– გვერდითი სახის სიმაღლე, ზემოდან ჩამოშვებული.
პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობის ფორმულა არის მისი გვერდითი სახეების ფართობების ჯამი, რომლებიც ერთმანეთის ტოლია. თუმცა, გაანგარიშების ეს მეთოდი ძალიან იშვიათად გამოიყენება. ძირითადად, პირამიდის ფართობი გამოითვლება ფუძისა და აპოთემის პერიმეტრის მიხედვით:

მოდით განვიხილოთ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობის გამოთვლის მაგალითი.

მოდით, მოგვცეს პირამიდა ფუძით ABCDE და ზედა F. AB =BC =CD =DE =3 სმ ა = 5 სმ იპოვეთ პირამიდის გვერდითი ზედაპირი.
მოდი ვიპოვოთ პერიმეტრი. ვინაიდან ფუძის ყველა კიდე ტოლია, ხუთკუთხედის პერიმეტრი ტოლი იქნება:
ახლა თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ პირამიდის გვერდითი ფართობი:

რეგულარული სამკუთხა პირამიდის ფართობი

რეგულარული სამკუთხა პირამიდა შედგება ფუძისგან, რომელშიც არის რეგულარული სამკუთხედი და სამი გვერდითი გვერდი, რომლებიც თანაბარია ფართობით.
რეგულარული სამკუთხა პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობის ფორმულა შეიძლება გამოითვალოს სხვადასხვა გზით. შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვეულებრივი გამოთვლის ფორმულა პერიმეტრისა და აპოთემის გამოყენებით, ან შეგიძლიათ იპოვოთ ერთი სახის ფართობი და გაამრავლოთ იგი სამზე. ვინაიდან პირამიდის სახე სამკუთხედია, ჩვენ ვიყენებთ სამკუთხედის ფართობის ფორმულას. დასჭირდება აპოთემა და ბაზის სიგრძე. განვიხილოთ ჩვეულებრივი სამკუთხა პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობის გაანგარიშების მაგალითი.

მოცემულია პირამიდა აპოთემით a = 4 სმ და ფუძის სახე b = 2 სმ იპოვეთ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.
პირველ რიგში, იპოვნეთ ერთ-ერთი გვერდითი სახის ფართობი. ამ შემთხვევაში იქნება:
ჩაანაცვლეთ მნიშვნელობები ფორმულაში:
ვინაიდან ჩვეულებრივ პირამიდაში ყველა გვერდი ერთნაირია, პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის სამი სახის ფართობების ჯამს. შესაბამისად:

დამსხვრეული პირამიდის ფართობი

შეკვეცილიპირამიდა არის პოლიედონი, რომელიც იქმნება პირამიდის მიერ და მისი განივი განყოფილება ფუძის პარალელურად.
დამსხვრეული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფორმულა ძალიან მარტივია. ფართობი ტოლია ფუძეების პერიმეტრისა და აპოთემის ჯამის ნახევრის ნამრავლის:

პირამიდის ზედაპირის ფართობი. ამ სტატიაში განვიხილავთ პრობლემებს ჩვეულებრივ პირამიდებთან. შეგახსენებთ, რომ რეგულარული პირამიდა არის პირამიდა, რომლის ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი, პირამიდის მწვერვალი დაპროექტებულია ამ მრავალკუთხედის ცენტრში.

ასეთი პირამიდის გვერდითი სახე არის ტოლფერდა სამკუთხედი.რეგულარული პირამიდის წვეროდან გამოყვანილ ამ სამკუთხედის სიმაღლეს ეწოდება აპთემა, SF - აპოთემა:

ქვემოთ წარმოდგენილი პრობლემის ტიპში, თქვენ უნდა იპოვოთ მთელი პირამიდის ზედაპირის ფართობი ან მისი გვერდითი ზედაპირის ფართობი. ბლოგზე უკვე განხილულია რამდენიმე პრობლემა ჩვეულებრივი პირამიდების შესახებ, სადაც კითხვა ეხებოდა ელემენტების პოვნას (სიმაღლე, ბაზის კიდე, გვერდითი კიდე).

ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ამოცანები ჩვეულებრივ იკვლევს ჩვეულებრივ სამკუთხა, ოთხკუთხა და ექვსკუთხა პირამიდებს. მე არ მინახავს რაიმე პრობლემა რეგულარული ხუთკუთხა და შვიდკუთხა პირამიდებთან დაკავშირებით.

მთელი ზედაპირის ფართობის ფორმულა მარტივია - თქვენ უნდა იპოვოთ პირამიდის ფუძის ფართობის ჯამი და მისი გვერდითი ზედაპირის ფართობი:

განვიხილოთ ამოცანები:

რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდები არის 72, გვერდითი კიდეები 164. იპოვეთ ამ პირამიდის ზედაპირის ფართობი.

პირამიდის ზედაპირის ფართობი ტოლია გვერდითი ზედაპირისა და ფუძის ფართობების ჯამს:

*გვერდითი ზედაპირი შედგება თანაბარი ფართობის ოთხი სამკუთხედისგან. პირამიდის საფუძველი არის კვადრატი.

ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ პირამიდის მხარის ფართობი:

ამრიგად, პირამიდის ზედაპირის ფართობია:

პასუხი: 28224

რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდები უდრის 22-ს, გვერდითი კიდეები 61-ის. იპოვეთ ამ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის ფუძე არის რეგულარული ექვსკუთხედი.

ამ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი შედგება 61,61 და 22 გვერდით თანაბარი სამკუთხედების ექვსი უბნისგან:

მოდით ვიპოვოთ სამკუთხედის ფართობი ჰერონის ფორმულის გამოყენებით:

ამრიგად, გვერდითი ზედაპირის ფართობია:

პასუხი: 3240

*ზემოთ წარმოდგენილ პრობლემებში, გვერდითი სახის ფართობი შეიძლება მოიძებნოს სხვა სამკუთხედის ფორმულის გამოყენებით, მაგრამ ამისათვის საჭიროა აპოთემის გამოთვლა.

27155. იპოვეთ რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის ზედაპირის ფართობი, რომლის ფუძის გვერდებია 6 და სიმაღლე 4.

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ პირამიდის ზედაპირის ფართობი, უნდა ვიცოდეთ ფუძის ფართობი და გვერდითი ზედაპირის ფართობი:

ფუძის ფართობი არის 36, რადგან ის არის კვადრატი მე-6 გვერდით.

გვერდითი ზედაპირი შედგება ოთხი სახისგან, რომლებიც ტოლი სამკუთხედებია. იმისათვის, რომ იპოვოთ ასეთი სამკუთხედის ფართობი, თქვენ უნდა იცოდეთ მისი საფუძველი და სიმაღლე (აპოთემა):

* სამკუთხედის ფართობი უდრის ფუძის ნამრავლის ნახევარს და ამ ფუძისკენ მიზიდულ სიმაღლეს.

ფუძე ცნობილია, უდრის ექვსს. მოდი ვიპოვოთ სიმაღლე. განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი (მონიშნული ყვითლად):

ერთი ფეხი უდრის 4-ს, რადგან ეს არის პირამიდის სიმაღლე, მეორე უდრის 3-ს, რადგან ის უდრის ფუძის კიდის ნახევარს. ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ჰიპოტენუზა პითაგორას თეორემის გამოყენებით:

ეს ნიშნავს, რომ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობია:

ამრიგად, მთელი პირამიდის ზედაპირის ფართობია:

პასუხი: 96

27069. რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდები უდრის 10-ს, გვერდითი კიდეები უდრის 13-ს. იპოვეთ ამ პირამიდის ზედაპირის ფართობი.

27070. რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდები უდრის 10-ს, გვერდითი კიდეები 13-ის. იპოვეთ ამ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

ასევე არსებობს ფორმულები ჩვეულებრივი პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობისთვის. ჩვეულებრივ პირამიდაში, ფუძე არის გვერდითი ზედაპირის ორთოგონალური პროექცია, ამიტომ:

პ- ბაზის პერიმეტრი, ლ- პირამიდის აპოთემა

*ეს ფორმულა ეფუძნება სამკუთხედის ფართობის ფორმულას.

თუ გსურთ გაიგოთ მეტი იმის შესახებ, თუ როგორ არის მიღებული ეს ფორმულები, არ გამოტოვოთ, მიჰყევით სტატიების გამოქვეყნებას.სულ ესაა. წარმატებებს გისურვებთ!

პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიცკიხი.

P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ მომიყვებით საიტის შესახებ სოციალურ ქსელებში.

ინსტრუქციები

უპირველეს ყოვლისა, ღირს იმის გაგება, რომ პირამიდის გვერდითი ზედაპირი წარმოდგენილია რამდენიმე სამკუთხედით, რომელთა არეების პოვნა შესაძლებელია სხვადასხვა ფორმულის გამოყენებით, ცნობილი მონაცემებიდან გამომდინარე:

S = (a*h)/2, სადაც h არის a მხარეს დაშვებული სიმაღლე;

S = a*b*sinβ, სადაც a, b არის სამკუთხედის გვერდები და β არის კუთხე ამ გვერდებს შორის;

S = (r*(a + b + c))/2, სადაც a, b, c არის სამკუთხედის გვერდები, ხოლო r არის ამ სამკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსი;

S = (a*b*c)/4*R, სადაც R არის წრის გარშემო შემოხაზული სამკუთხედის რადიუსი;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (თუ სამკუთხედი მართკუთხაა);

S = S = (a²*√3)/4 (თუ სამკუთხედი ტოლგვერდაა).

სინამდვილეში, ეს არის მხოლოდ ყველაზე ძირითადი ცნობილი ფორმულები სამკუთხედის ფართობის საპოვნელად.

ზემოაღნიშნული ფორმულების გამოყენებით ყველა სამკუთხედის ფართობის გამოთვლით, რომლებიც პირამიდის სახეა, შეგიძლიათ დაიწყოთ ამ პირამიდის ფართობის გამოთვლა. ეს კეთდება ძალიან მარტივად: თქვენ უნდა დაამატოთ ყველა სამკუთხედის არეები, რომლებიც ქმნიან პირამიდის გვერდით ზედაპირს. ეს შეიძლება გამოიხატოს ფორმულით:

Sp = ΣSi, სადაც Sp არის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, Si არის i-ე სამკუთხედის ფართობი, რომელიც მისი გვერდითი ზედაპირის ნაწილია.

უფრო მეტი სიცხადისთვის შეგვიძლია განვიხილოთ მცირე მაგალითი: მოყვანილია რეგულარული პირამიდა, რომლის გვერდითი სახეები ტოლგვერდა სამკუთხედებითაა წარმოქმნილი და მის ძირში დევს კვადრატი. ამ პირამიდის კიდის სიგრძეა 17 სმ, საჭიროა ამ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობის პოვნა.

ამოხსნა: ცნობილია ამ პირამიდის კიდის სიგრძე, ცნობილია, რომ მისი სახეები ტოლგვერდა სამკუთხედებია. ამრიგად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ გვერდითი ზედაპირის ყველა სამკუთხედის ყველა გვერდი უდრის 17 სმ-ს, ამიტომ, რომელიმე ამ სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ფორმულა:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 სმ²

ცნობილია, რომ პირამიდის ძირში დგას კვადრატი. ამრიგად, ცხადია, რომ არსებობს ოთხი მოცემული ტოლგვერდა სამკუთხედი. შემდეგ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი გამოითვლება შემდეგნაირად:

125,137 სმ² * 4 = 500,548 სმ²

პასუხი: პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობია 500,548 სმ²

პირველი, მოდით გამოვთვალოთ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი. გვერდითი ზედაპირი არის ყველა გვერდითი სახის ფართობის ჯამი. თუ საქმე გაქვთ რეგულარულ პირამიდასთან (ანუ ისეთს, რომელსაც აქვს რეგულარული მრავალკუთხედი მის ძირში და წვერო არის დაპროექტებული ამ მრავალკუთხედის ცენტრში), მაშინ მთელი გვერდითი ზედაპირის გამოსათვლელად საკმარისია პერიმეტრის გამრავლება. ფუძე (ანუ ფუძის პირამიდაზე მდებარე მრავალკუთხედის ყველა მხარის სიგრძის ჯამი) გვერდითი სახის სიმაღლეზე (სხვანაირად აპოთემას უწოდებენ) და მიღებული მნიშვნელობა გაყავით 2-ზე: Sb = 1/2P* h, სადაც Sb არის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, P არის ფუძის პერიმეტრი, h არის გვერდითი სახის სიმაღლე (აპოთემა).

თუ თქვენ წინ გაქვთ თვითნებური პირამიდა, მოგიწევთ ცალ-ცალკე გამოთვალოთ ყველა სახის ფართობი და შემდეგ შეკრიბოთ ისინი. ვინაიდან პირამიდის გვერდითი მხარეები სამკუთხედია, გამოიყენეთ ფორმულა სამკუთხედის ფართობისთვის: S=1/2b*h, სადაც b არის სამკუთხედის საფუძველი, ხოლო h არის სიმაღლე. მას შემდეგ რაც გამოითვლება ყველა სახის ფართობი, რჩება მხოლოდ მათი დამატება პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობის მისაღებად.

შემდეგ თქვენ უნდა გამოთვალოთ პირამიდის ფუძის ფართობი. გამოთვლის ფორმულის არჩევანი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რომელი მრავალკუთხედი დევს პირამიდის ძირში: რეგულარული (ანუ ერთი და იგივე სიგრძის ყველა გვერდით) თუ არარეგულარული. რეგულარული მრავალკუთხედის ფართობის გამოთვლა შესაძლებელია პერიმეტრის მრავალკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსზე გამრავლებით და მიღებული მნიშვნელობის 2-ზე გაყოფით: Sn = 1/2P*r, სადაც Sn არის ფართობი. მრავალკუთხედი, P არის პერიმეტრი და r არის მრავალკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსი.

დამსხვრეული პირამიდა არის პოლიედონი, რომელიც წარმოიქმნება პირამიდის მიერ და მისი განივი განყოფილება ფუძის პარალელურად. პირამიდის გვერდითი ზედაპირის პოვნა საერთოდ არ არის რთული. ეს ძალიან მარტივია: ფართობი უდრის აპოთემის ფუძეების ჯამის ნახევრის ნამრავლს. მოდით განვიხილოთ დამსხვრეული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობის გაანგარიშების მაგალითი. დავუშვათ, რომ გვეძლევა რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდა. ფუძის სიგრძეა b = 5 სმ, c = 3 სმ აპოთემა a = 4 სმ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის გასარკვევად, ჯერ უნდა იპოვოთ ფუძის პერიმეტრი. დიდ ფუძეში ტოლი იქნება p1=4b=4*5=20 სმ-ის ფორმულა: p2=4c=4*3=12 სმ : s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 სმ.

პირამიდა არის პოლიედონი, რომლის ერთ-ერთი სახე (ფუძე) არის თვითნებური მრავალკუთხედი, ხოლო დანარჩენი სახეები (გვერდები) არის სამკუთხედები, რომლებსაც აქვთ საერთო წვერო. კუთხეების რაოდენობის მიხედვით პირამიდის ფუძე სამკუთხა (ტეტრაედონი), ოთხკუთხა და ა.შ.

პირამიდა არის მრავალკუთხედი, რომელსაც აქვს ბაზა მრავალკუთხედის სახით, ხოლო დარჩენილი სახეები არის სამკუთხედები საერთო წვერით. აპოთემა არის რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე, რომელიც გამოყვანილია მისი წვეროდან.

ტიპიური გეომეტრიული ამოცანები სიბრტყეზე და სამგანზომილებიან სივრცეში არის სხვადასხვა ფიგურების ზედაპირის ფართობის განსაზღვრის პრობლემები. ამ სტატიაში წარმოგიდგენთ ფორმულას რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობისთვის.

მოდით მივცეთ პირამიდის მკაცრი გეომეტრიული განმარტება. დავუშვათ, გვაქვს მრავალკუთხედი n გვერდით და n კუთხით. ავირჩიოთ სივრცეში თვითნებური წერტილი, რომელიც არ იქნება მითითებული n-კუთხედის სიბრტყეში და დავაკავშიროთ იგი მრავალკუთხედის თითოეულ წვეროსთან. მივიღებთ გარკვეული მოცულობის ფიგურას, რომელსაც n-გონალური პირამიდა ეწოდება. მაგალითად, ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში ვაჩვენოთ როგორ გამოიყურება ხუთკუთხა პირამიდა.

ნებისმიერი პირამიდის ორი მნიშვნელოვანი ელემენტია მისი ფუძე (n-gon) და მისი მწვერვალი. ეს ელემენტები ერთმანეთთან დაკავშირებულია n სამკუთხედით, რომლებიც ზოგადად არ არის ერთმანეთის ტოლი. ზემოდან ძირამდე დაშვებულ პერპენდიკულარს ფიგურის სიმაღლე ეწოდება. თუ იგი კვეთს ფუძეს გეომეტრიულ ცენტრში (ემთხვევა მრავალკუთხედის მასის ცენტრს), მაშინ ასეთ პირამიდას სწორ ხაზს უწოდებენ. თუ ამ პირობის გარდა, ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი, მაშინ მთელ პირამიდას ეწოდება რეგულარული. ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს, თუ როგორ გამოიყურება რეგულარული პირამიდები სამკუთხა, ოთხკუთხა, ხუთკუთხა და ექვსკუთხა ფუძეებით.

პირამიდის ზედაპირი

სანამ რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობის საკითხზე გადავიდოდეთ, უფრო დეტალურად უნდა ვისაუბროთ თავად ზედაპირის კონცეფციაზე.

როგორც ზემოთ აღინიშნა და ფიგურებშია ნაჩვენები, ნებისმიერი პირამიდა იქმნება სახეების ან გვერდების ნაკრებით. ერთი მხარე არის ფუძე და n გვერდი არის სამკუთხედი. მთელი ფიგურის ზედაპირის ფართობი არის თითოეული მხარის ფართობების ჯამი.

მოსახერხებელია ზედაპირის შესწავლა ფიგურის განვითარების მაგალითის გამოყენებით. რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის განვითარება ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურებში.

ჩვენ ვხედავთ, რომ მისი ზედაპირის ფართობი უდრის იდენტური ტოლფერდა სამკუთხედების ოთხი ფართობის ჯამს და კვადრატის ფართობს.

ყველა სამკუთხედის საერთო ფართობს, რომლებიც ქმნიან ფიგურის გვერდებს, ჩვეულებრივ უწოდებენ გვერდითი ზედაპირის ფართობს. შემდეგ ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ გამოვთვალოთ ის ჩვეულებრივი ოთხკუთხა პირამიდისთვის.

ოთხკუთხა რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი

მითითებული ფიგურის გვერდითი ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად, ჩვენ კვლავ მივმართავთ ზემოთ მოცემულ განვითარებას. დავუშვათ, რომ ვიცით კვადრატული ფუძის მხარე. ავღნიშნოთ ა სიმბოლოთი. ჩანს, რომ ოთხი იდენტური სამკუთხედიდან თითოეულს აქვს a სიგრძის ფუძე. მათი მთლიანი ფართობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იცოდეთ ეს მნიშვნელობა ერთი სამკუთხედისთვის. გეომეტრიის კურსიდან ვიცით, რომ სამკუთხედის S t ფართობი უდრის ფუძისა და სიმაღლის ნამრავლს, რომელიც უნდა გაიყოს ნახევრად. ანუ:

სადაც h b არის a ფუძესთან დახატული ტოლფერდა სამკუთხედის სიმაღლე. პირამიდისთვის ეს სიმაღლე აპოთემაა. ახლა რჩება მიღებული გამოხატულების გამრავლება 4-ზე, რათა მივიღოთ გვერდითი ზედაპირის ფართობი S b მოცემული პირამიდისთვის:

S b = 4 * S t = 2 * h b * a.

ეს ფორმულა შეიცავს ორ პარამეტრს: აპოთემა და ბაზის მხარე. თუ ეს უკანასკნელი ცნობილია უმეტეს პრობლემურ პირობებში, მაშინ პირველი უნდა გამოითვალოს სხვა რაოდენობების ცოდნით. აქ მოცემულია h b აპოთემის გამოთვლის ფორმულები ორი შემთხვევისთვის:

• როდესაც ცნობილია გვერდითი ნეკნის სიგრძე;
• როდესაც ცნობილია პირამიდის სიმაღლე.

თუ გვერდითი კიდის (ტოლფერდა სამკუთხედის გვერდის) სიგრძეს აღვნიშნავთ L სიმბოლოთი, მაშინ აპოთემა h b განისაზღვრება ფორმულით:

h b = √(L2 - a2/4).

ეს გამოთქმა არის პითაგორას თეორემის გამოყენების შედეგი გვერდითი ზედაპირის სამკუთხედისთვის.

თუ ცნობილია პირამიდის h სიმაღლე, მაშინ h b აპოთემა შეიძლება გამოითვალოს შემდეგნაირად:

ასევე არ არის რთული ამ გამოთქმის მიღება, თუ პირამიდის შიგნით განვიხილავთ მართკუთხა სამკუთხედს, რომელიც წარმოიქმნება h და a/2 ფეხებითა და ჰიპოტენუზა h b.

მოდით ვაჩვენოთ როგორ გამოვიყენოთ ეს ფორმულები ორი საინტერესო ამოცანის ამოხსნით.

პრობლემა ცნობილი ზედაპირის ფართობთან

ცნობილია, რომ რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი 108 სმ2-ია. მისი h b აპოთემის სიგრძის გამოთვლა აუცილებელია, თუ პირამიდის სიმაღლე 7 სმ-ია.

დავწეროთ გვერდითი ზედაპირის S b ფართობის ფორმულა სიმაღლის მიხედვით. ჩვენ გვაქვს:

S b = 2*√(h2 + a2/4) *a.

აქ ჩვენ უბრალოდ ჩავანაცვლეთ შესაბამისი აპოთემის ფორმულა S b-ის გამოსახულებაში. მოდი განტოლების ორივე მხარე კვადრატში გავავლოთ:

a-ს მნიშვნელობის საპოვნელად, ვაკეთებთ ცვლადების ცვლილებას:

t2 + 4*h2*t - S b 2 = 0.

ახლა ჩვენ ვცვლით ცნობილ მნიშვნელობებს და ვხსნით კვადრატულ განტოლებას:

t2 + 196*t – 11664 = 0.

ჩვენ ჩამოვწერეთ ამ განტოლების მხოლოდ დადებითი ფესვი. მაშინ პირამიდის ფუძის გვერდები ტოლი იქნება:

a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 სმ.

აპოთემის სიგრძის მისაღებად, უბრალოდ გამოიყენეთ ფორმულა:

h b = √(h2 + a2/4) = √(72 + 6.9162/4) ≈ 7.808 სმ.

კეოპსის პირამიდის გვერდითი ზედაპირი

მოდით განვსაზღვროთ გვერდითი ზედაპირის ფართობის მნიშვნელობა ყველაზე დიდი ეგვიპტური პირამიდისთვის. ცნობილია, რომ მის ძირში მდებარეობს კვადრატი, რომლის გვერდის სიგრძეა 230,363 მეტრი. სტრუქტურის სიმაღლე თავდაპირველად 146,5 მეტრი იყო. მოდით ჩავანაცვლოთ ეს რიცხვები S b-ის შესაბამის ფორმულაში, მივიღებთ:

S b = 2*√(h2 + a2/4) *a = 2*√(146.52+230.3632/4)*230.363 ≈ 85860 მ2.

ნაპოვნი ღირებულება ოდნავ აღემატება 17 საფეხბურთო მოედნის ფართობს.

რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი: ფორმულები და პრობლემების მაგალითი - ყველაფერი საიტზე მოგზაურობის შესახებ

არის ფიგურა, რომლის ფუძე არის თვითნებური მრავალკუთხედი, ხოლო გვერდითი სახეები წარმოდგენილია სამკუთხედებით. მათი წვეროები დევს იმავე წერტილში და შეესაბამება პირამიდის ზედა ნაწილს.

პირამიდა შეიძლება იყოს მრავალფეროვანი - სამკუთხა, ოთხკუთხა, ექვსკუთხა და ა.შ. მისი სახელი შეიძლება განისაზღვროს ბაზის მიმდებარე კუთხეების რაოდენობის მიხედვით.
მარჯვენა პირამიდაეწოდება პირამიდას, რომელშიც ფუძის გვერდები, კუთხეები და კიდეები ტოლია. ასევე ასეთ პირამიდაში გვერდითი სახეების ფართობი თანაბარი იქნება.
პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობის ფორმულა არის მისი ყველა სახის ფართობის ჯამი:
ანუ, თვითნებური პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იპოვოთ თითოეული სამკუთხედის ფართობი და დაამატოთ ისინი. თუ პირამიდა შეკვეცილია, მაშინ მისი სახეები წარმოდგენილია ტრაპეციებით. არსებობს ჩვეულებრივი პირამიდის კიდევ ერთი ფორმულა. მასში გვერდითი ზედაპირის ფართობი გამოითვლება ფუძის ნახევრად პერიმეტრით და აპოთემის სიგრძით:

მოდით განვიხილოთ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობის გამოთვლის მაგალითი.
მიეცეს რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდა. ბაზის მხარე ბ= 6 სმ, აპოთემა ა= 8 სმ იპოვნეთ გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის ძირში არის კვადრატი. ჯერ ვიპოვოთ მისი პერიმეტრი:

ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ჩვენი პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი:

იმისათვის, რომ იპოვოთ პოლიედრონის მთლიანი ფართობი, თქვენ უნდა იპოვოთ მისი ფუძის ფართობი. პირამიდის ფუძის ფართობის ფორმულა შეიძლება განსხვავდებოდეს იმისდა მიხედვით, თუ რომელი მრავალკუთხედი დევს ბაზაზე. ამისათვის გამოიყენეთ სამკუთხედის ფართობის ფორმულა, პარალელოგრამის ფართობიდა ა.შ.

განვიხილოთ ჩვენი პირობებით მოცემული პირამიდის ფუძის ფართობის გამოთვლის მაგალითი. ვინაიდან პირამიდა რეგულარულია, მის ძირში არის კვადრატი.
მოედანზე ფართობიგამოითვლება ფორმულით:
სადაც a არის კვადრატის მხარე. ჩვენთვის ეს არის 6 სმ, ეს ნიშნავს, რომ პირამიდის ფუძის ფართობია:

ახლა რჩება მხოლოდ პოლიედრონის მთლიანი ფართობის პოვნა. პირამიდის ფართობის ფორმულა შედგება მისი ფუძისა და გვერდითი ზედაპირის ფართობის ჯამისაგან.